现在，我们已经了解了点和矩阵变换的基础，我们可以来描述它们是如何应用在计算机图形学中的。我们会讨论各种模型操作和图像操作。
5.1 世界，物体和视角坐标系
当我们在场景中描述几何体时，我们开始于一个基本右手正交坐标系w ⃗ t \vec{\mathbf{w}}^t w t 世界坐标系（world frame） 。我们永远不会改变世界坐标系。其他坐标系可以随后相关于这一世界坐标系来描述。如果我们使用相关于世界坐标系的坐标系向量来表示某些点的位置，它们就被称为世界坐标系向量（world coordinates） 。
假设我们希望在场景中建立一个移动车辆的模型。我们希望使用顶点坐标系来建立模型，不需要关心该物体在场景全局中的摆放位置。同样，我们也想在场景中移动车辆而不需要对模型的坐标系向量进行改动。这些通过物体坐标系来完成。
对于场景中的每一个物体，我们都与之关联一个右手正交物体坐标系o ⃗ t \vec{\mathbf{o}}^t o t 物体坐标系（object coordinates） 并存储在我们的计算机程序中。想要移动整个物体，我们简单的更新o ⃗ t \vec{\mathbf{o}}^t o t
物体坐标系与世界坐标系的关系由仿射 4x4 （刚体）矩阵表示，我们称之为O O O
o ⃗ t = w ⃗ t O \vec{\mathbf{o}}^t =\vec{\mathbf{w}}^tO o t = w t O
在程序中，我们会存储矩阵O O O O O O o ⃗ t \vec{\mathbf{o}}^t o t O O O
在现实世界中，当我们想要从 3D 环境中创建一张 2D 图像时，我们将一个相机放置在场景中的某处。每个物体在图像中的位置，与它在 3D 中与相机的关系有关（即在某一合适的基向量下它们的坐标系向量）。
在计算机图形学中，我们使用一个右手性的正交坐标系e ⃗ t \vec{\mathbf{e}}^t e t E E E
e ⃗ t = w ⃗ t E \vec{\mathbf{e}}^t =\vec{\mathbf{w}}^tE e t = w t E
图5.1 ：世界坐标系为红色，物体坐标系为绿色，而视角坐标系为蓝色。视角沿着其 z 轴负方向向向下看向物体。
在计算机程序中，我们会显式的存储矩阵E E E
给定一点
p ~ = o ⃗ t c = w ⃗ t O c = e ⃗ t E − 1 O c \tilde{p} =\vec{\mathbf{o}}^t\mathbf{c} =\vec{\mathbf{w}}^tO\mathbf{c} =\vec{\mathbf{e}}^tE^{-1}O\mathbf{c} p ~ = o t c = w t O c = e t E − 1 O c
我们将c \mathbf{c} c O c O\mathbf{c} O c E − 1 O c E^{-1}O\mathbf{c} E − 1 O c o o o w w w e e e
[ x e y e z e 1 ] = E − 1 O [ x o y o z o 1 ] \left[ \begin{matrix} x_e \\ y_e \\ z_e \\ 1 \end{matrix} \right] = E^{-1}O \left[ \begin{matrix} x_o \\ y_o \\ z_o \\ 1 \end{matrix} \right] x e y e z e 1 = E − 1 O x o y o z o 1
最终，是这个视角坐标系向量指定了每一个顶点出现在渲染图像的何处。因此，如第 6 章中所述，我们的渲染过程需要对每一个顶点计算其视角坐标系向量。
5.2 移动
在一个交互式 3D 程序中，我们常常想要使用某种刚体变换在空间中移动物体以及视角。我们现在来讨论通常是如何做到这一点的。
5.2.1 移动物体
我们通过更新其对应的坐标系来移动物体，即我们更新表示它的矩阵O O O
假设我们希望将一个在某一坐标系a ⃗ t = w ⃗ t A \vec{\mathbf{a}}^t=\vec{\mathbf{w}}^tA a t = w t A M M M o ⃗ t \vec{\mathbf{o}}^t o t
因此我们在代码中将其实现为O ← A M A − 1 O O\leftarrow AMA^{-1}O O ← A M A − 1 O
如何来选择a ⃗ t \vec{\mathbf{a}}^t a t o ⃗ t \vec{\mathbf{o}}^t o t o ⃗ t \vec{\mathbf{o}}^t o t e ⃗ t \vec{\mathbf{e}}^t e t o ⃗ t \vec{\mathbf{o}}^t o t o ⃗ t \vec{\mathbf{o}}^t o t
图5.2 ：当我们将鼠标向右移动时，我们希望物体在其自身中心围绕视角的y轴向旋转。
为了解决两个问题，我们可以创建一个新的坐标系，原点与物体坐标系相同，而轴向方向与视角坐标系相同，为了做到这一点，我们将矩阵分解如下：
O = ( O ) T ( O ) R O = (O)_T (O)_R O = ( O ) T ( O ) R
E = ( E ) T ( E ) R E=(E)_T(E)_R E = ( E ) T ( E ) R
其中( A ) T (A)_T ( A ) T A A A ( A ) R (A)_R ( A ) R
从世界坐标系开始（从左向右读上述等式，即连续从物体空间解读）先位移至物体坐标系的中心，再将其旋转至视角坐标系方向（如图5.3）。
图5.3 ：辅助坐标系a ⃗ \vec{\mathbf{a}} a o ⃗ \vec{\mathbf{o}} o e ⃗ \vec{\mathbf{e}} e
因此，对于这种类型的物体运动，等式中的矩阵A A A A = ( O ) T ( E ) R A=(O)_T(E)_R A = ( O ) T ( E ) R
还有另一种计算方式可以达到相同的效果。假设，例如，我们希望沿着一个物体自身的中心旋转一个物体，而旋转轴向是k ⃗ \vec{k} k e ⃗ t \vec{\mathbf{e}}^t e t k \mathbf{k} k k \mathbf{k} k M M M A A A O ← A M A − 1 O O\leftarrow AMA^{-1}O O ← A M A − 1 O k ′ \mathbf{k}^\prime k ′ k ⃗ \vec{k} k o ⃗ t \vec{\mathbf{o}}^t o t k ′ \mathbf{k}^\prime k ′ o ⃗ t \vec{\mathbf{o}}^t o t M ′ M^\prime M ′
5.2.2 移动视角
我们可能会想进行的另一个操作是移动视角来获得不同的观察结果。这需要改变e ⃗ t \vec{\mathbf{e}}^t e t E E E
一个选择是使用与之前相同的辅助坐标系统。此时，视角会沿着物体的中心旋转。
另一个有用的选择是以视角自身的坐标系来变换e ⃗ t \vec{\mathbf{e}}^t e t E E E
E ← E M ′ E \leftarrow EM^\prime E ← E M ′
5.2.3 注视（Lookat）
有时(尤其是对静止画面来说)描述视角坐标系e ⃗ t = w ⃗ t E \vec{\mathbf{e}}^t=\vec{\mathbf{w}}^tE e t = w t E p ~ \tilde{p} p ~ q ~ \tilde{q} q ~ u ⃗ \vec{u} u p \mathbf{p} p q \mathbf{q} q u \mathbf{u} u w ⃗ t \vec{\mathbf{w}}^t w t
z = n o r m a l i z e ( q − p ) \mathbf{z} = normalize(\mathbf{q}-\mathbf{p}) z = n or ma l i ze ( q − p )
y = n o r m a l i z e ( u ) \mathbf{y} = normalize(\mathbf{u}) y = n or ma l i ze ( u )
x = y × z \mathbf{x} = \mathbf{y}\times \mathbf{z} x = y × z
其中
n o r m a l i z e ( c ) = c 1 2 + c 2 2 + c 3 2 normalize(\mathbf{c}) = \sqrt{c_1^2+c_2^2+c_3^2} n or ma l i ze ( c ) = c 1 2 + c 2 2 + c 3 2
则矩阵E E E
[ x 1 y 1 z 1 p 1 x 2 y 2 z 2 p 2 x 3 y 3 z 3 p 3 0 0 0 1 ] \left[ \begin{matrix} x_1 & y_1 & z_1 & p_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & p_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 & p_3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] x 1 x 2 x 3 0 y 1 y 2 y 3 0 z 1 z 2 z 3 0 p 1 p 2 p 3 1
5.3 缩放
目前为止，我们将我们的世界看作由可移动物体组成，每个物体有其自己的垂直坐标系，由其刚体矩阵o ⃗ t = w ⃗ t O \vec{\mathbf{o}}^t=\vec{\mathbf{w}}^tO o t = w t O
当然，对于给物体建模，我们也会希望进行缩放操作。例如，我们也许想利用积压球体来得到椭球体。一种方法是对于物体同时保存一个独立的缩放矩阵O ′ O^\prime O ′ o ′ ⃗ t = o ⃗ t O ′ \vec{\mathbf{o}^\prime}^t=\vec{\mathbf{o}}^tO^\prime o ′ t = o t O ′ O O O E − 1 O O ′ E^{-1}OO^\prime E − 1 O O ′
5.4 层级关系（Hierarchy）
通常，将一个物体看作由一些子物体组成会比较方便，这些子物体或固定或可以移动。每个子物体或许会有其自身的标准正交坐标系，称其为a ⃗ t \vec{\mathbf{a}}^t a t
例如，当建模一个肢体可动的机器人时，我们或许会使用一个物体坐标系以及一个缩放的物体坐标系来表示躯干，一个子物体坐标系表示一个可旋转的肩部，一个经过缩放的子坐标系表示上臂（随肩部一起运动）（如图 5.4）。
图5.4 ：在本例中，绿色坐标系为物体坐标系o ⃗ t = w ⃗ t O \vec{\mathbf{o}}^t=\vec{\mathbf{w}}^tO o t = w t O o ′ ⃗ t = o ⃗ t O ′ \vec{\mathbf{o}^{\prime}}^t=\vec{\mathbf{o}}^tO^{\prime} o ′ t = o t O ′ o ′ ⃗ t \vec{\mathbf{o}^{\prime}}^t o ′ t O O O a ⃗ t = o ⃗ t A \vec{\mathbf{a}}^t=\vec{\mathbf{o}}^tA a t = o t A A A A b ⃗ t = a ⃗ t B \vec{\mathbf{b}}^t=\vec{\mathbf{a}}^tB b t = a t B b ′ ⃗ t = b ⃗ t B ′ \vec{\mathbf{b}^\prime}^t=\vec{\mathbf{b}}^tB^\prime b ′ t = b t B ′ b ′ ⃗ t \vec{\mathbf{b}^\prime}^t b ′ t c ⃗ t = b ⃗ t C \vec{\mathbf{c}}^t=\vec{\mathbf{b}}^tC c t = b t C C C C d ⃗ t = c ⃗ t D \vec{\mathbf{d}}^t=\vec{\mathbf{c}}^tD d t = c t D d ⃗ t = d ⃗ t D ′ \vec{\mathbf{d}}^t=\vec{\mathbf{d}}^tD^\prime d t = d t D ′ f ⃗ t = o ⃗ t F \vec{\mathbf{f}}^t=\vec{\mathbf{o}}^tF f t = o t F
当我们移动整个物体时，通过更新其矩阵O O O A A A a ⃗ t = o ⃗ t A \vec{\mathbf{a}}^t=\vec{\mathbf{o}}^tA a t = o t A A ′ A^{\prime} A ′ a ′ ⃗ t = a ⃗ t A ′ \vec{\mathbf{a}^\prime}^t = \vec{\mathbf{a}}^tA^\prime a ′ t = a t A ′ A A A E − 1 O A A ′ E^{-1}OAA^{\prime} E − 1 O A A ′ b ⃗ = a ⃗ t B \vec{\mathbf{b}}=\vec{\mathbf{a}}^tB b = a t B b ′ ⃗ = a ⃗ t B ′ \vec{\mathbf{b}^\prime}=\vec{\mathbf{a}}^tB^{\prime} b ′ = a t B ′
图5.5 ：整体的移动机器人时，我们更新其矩阵O O O
在我们机器人的例子当中，我们使用了a ⃗ t \vec{\mathbf{a}}^t a t b ′ ⃗ t \vec{\mathbf{b}^\prime}^t b ′ t c ⃗ t = b ⃗ t C \vec{\mathbf{c}}^t=\vec{\mathbf{b}}^tC c t = b t C d ⃗ t = c ⃗ t D \vec{\mathbf{d}}^t=\vec{\mathbf{c}}^tD d t = c t D d ′ ⃗ t = c ⃗ t D ′ \vec{\mathbf{d}^\prime}^t=\vec{\mathbf{c}}^tD^\prime d ′ t = c t D ′ A A A C C C
图5.6 ：需要在肩膀处弯曲右臂时，我们更新矩阵A A A
图5.7 ：需要弯曲右肘时，我们更新矩阵C C C
通常，我们会使用一个矩阵栈（matrix stack） 数据结构来追踪用于绘制当前子物体的矩阵。在这个矩阵栈中，push(M) 操作创建一个新的“最顶层”矩阵，它是之前顶部矩阵的一个复制。随后，用我们矩阵参数M M M
例如，用伪代码表示，我们或许会这样绘制上述机器人
Copy ...
matrixStack. initialize ( inv (E));
matrixStack. push (O);
matrixStack. push (O ');
draw(matrixStack.top(), cube); // body
matrixStack.pop(); // O'
matrixStack. push (A);
matrixStack. push (B);
matrixStack. push (B ');
draw(matrixStack.top(), sphere); // upper arm
matrixStack.pop(); // B'
matrixStack. push (C);
matrixStack. push (C ');
draw(matrixStack.top(), sphere); // lower arm
matrixStack.pop(); // C'
matrixStack. pop (); // C
matrixStack. pop (); // B
matrixStack. pop (); // A
// current top matrix is inv(E)*O
// we can now draw another arm
matrixStack. push (F);
... 这种层级关系可以被硬编码至程序中，如上述伪代码表示的一样，或者用某种称为场景图（scene graph） 的链接树形数据结构来表示。
练习
5.1 假设我们的场景中有一个喷气式飞机在天空中飞行。假设飞机的几何体在飞机自身坐标系j ⃗ t \vec{\mathbf{j}}^t j t j ⃗ t = w ⃗ t J \vec{\mathbf{j}}^t=\vec{\mathbf{w}}^tJ j t = w t J z z z o ⃗ t c \vec{\mathbf{o}}^t\mathbf{c} o t c
5.2 假设我们有一个图 5.4 中的机器人。假设我们想在一个原点位于骨骼中心但是轴向与视角坐标系相同的坐标系下旋转肩关节。要如何实现？（或许用等式 5.3 中的方法来完成更容易些。）
