第四章 坐标系相关性（Respect）

4.1 坐标系的重要性

在计算机图形学中，我们同时记录许多不同的坐标系。例如，我们也许对场景中的每一个物体都有一个不同的坐标系与之相关联。我们如何使用和组织这些坐标系的细节在第 5 章中描述。因为有如此多的坐标系，当使用矩阵来定义变换时，我们需要非常小心。

假设我们指定一个点和一个变换矩阵；这并不能完全表示实际的映射。我们必须也指定我们所使用的坐标系。这里有一个简单的例子。假设我们开始于某一点$\tilde{p}$以及矩阵

$\mathbf{S} = \left[ \begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$

现在我们来确定一个坐标系$\vec{\mathbf{f}}^t$。有了这个向量基，我们想要表示的点可以由对应合适的坐标系向量表示为$\tilde{p}=\vec{\mathbf{f}}^t\mathbf{c}$。如果我们现在使用上面的矩阵来变换该点，如同第 3 章中描述的，我们得到$\vec{\mathbf{f}}^t\mathbf{c}\Rightarrow\vec{\mathbf{f}}^tS\mathbf{c}$。在这个情况下，该矩阵的作用是从坐标系$\vec{\mathbf{f}}^t$的原点开始，用缩放系数 2 来变换该点，缩放方向为$\vec{\mathbf{f}}^t$的第一个轴向（$x$）。

假设我们重新选择另一个坐标系$\vec{\mathbf{a}}^t$，并且假设这个坐标系与原先的坐标系通过矩阵可以建立相关关系$\vec{\mathbf{a}}^t=\vec{\mathbf{f}}^tA$。我们可以用一个新的坐标系向量在新的坐标系内表示原点$\tilde{p}=\vec{\mathbf{f}}^t\mathbf{c}=\vec{\mathbf{a}}^t\mathbf{d}$，其中$\mathbf{d}=A^{-1}\mathbf{c}$。

现在如果我们使用$S$来对相关于$\vec{\mathbf{a}}^t$的点进行变换，我们得到$\vec{\mathbf{a}}^t\mathbf{d}\Rightarrow\vec{\mathbf{a}}^tS\mathbf{d}$。此时，我们对同一个点$\tilde{p}$进行了缩放，但这一次，它是从$\vec{\mathbf{a}}^t$的原点，沿着$\vec{\mathbf{a}}^t$的第一个轴向（$x$）进行缩放。它是一个与之前不同的变换（图4.1）。图 4.2 展示了当使用一个固定的矩阵$R$旋转一个点时遇到同样对坐标系的依赖性。

图 4.1： 缩放矩阵$S$将点$\tilde{p}$相关于两个不同的坐标系下缩放。得到了两个不同的结果。

图 4.2： 旋转矩阵$R$将点$\tilde{p}$相关于两个不同的坐标系下缩放。得到了两个不同的结果。

在这里需要关注的重点是，对点的变换（在本例中是非均匀缩放）在表达式中与变换矩阵左侧的首先出现的坐标系相关。因此我们称之为左侧原则（left-of-rule）。我们将

$\tilde{p}=\vec{\mathbf{f}}^t\mathbf{c} \Rightarrow\vec{\mathbf{f}}^tS\mathbf{c}$

读作"$\tilde{p}$由$S$相关于$\vec{\mathbf{f}}^t$进行变换。"我们将

$\tilde{p} =\vec{\mathbf{a}}^tA^{-1}\mathbf{c} \Rightarrow \vec{\mathbf{a}}^tSA^{-1}\mathbf{c}$

读作"$\tilde{p}$由$S$相关于$\vec{\mathbf{a}}^t$进行变换"。

我们可以对坐标系本身的变换也应用同样的逻辑。我们将

$\vec{\mathbf{f}}^t \Rightarrow \vec{\mathbf{f}}^tS$

读作"$\vec{\mathbf{f}}^t$由$S$相关于$\vec{\mathbf{f}}^t$进行变换。"我们将

$\vec{\mathbf{f}}^t = \vec{\mathbf{a}}^tA^{-1} \Rightarrow \vec{\mathbf{a}}^tSA^{-1}$

读作"$\vec{\mathbf{f}}^t$由$S$相关于$\vec{\mathbf{a}}^t$进行变换"。

4.1.1 使用辅助坐标系进行变换

在很多种情况下，我们希望相关于某一辅助坐标系$\vec{\mathbf{a}}^t$,以矩阵$M$表示的特定方式将一个坐标系$\vec{\mathbf{f}}^t$进行变换。例如，我们或许会使用某一坐标系来对地球进行建模，而后我们希望将地球沿着太阳的坐标系来旋转。

这很容易做到，只要我们知道$\vec{\mathbf{f}}$与$\vec{\mathbf{a}}^t$之间相关的矩阵关系。例如，我们或许知道

$\vec{\mathbf{a}}^t = \vec{\mathbf{f}}^tA$

变换后的矩阵可以被表示为

\begin{eqnarray} &&\vec{\mathbf{f}}^t \\ &=& \vec{\mathbf{a}}^tA^{-1} \\ &\Rightarrow& \vec{\mathbf{a}}^tMA^{-1} \notag\\ &=& \vec{\mathbf{f}}^tAMA^{-1} \end{eqnarray} \tag{4.1}

在等式（4.1）的第一行，我们用$\vec{\mathbf{a}}^t$重写了$\vec{\mathbf{f}}^t$。在下一行，我们使用左侧原则对坐标系系统进行了变换；使用了相关于$\vec{\mathbf{a}}^t$的矩阵$M$。在最后一行，我们简单的重写了表达式，移除了辅助坐标系。

4.2 多重变换

我们可以使用左侧原则来解释一系列多重变换。在这里强调，回想一下，通常，矩阵相乘是不满足互易性的。在随后的 2D 例子中，$R$为一个旋转矩阵而$T$是一个位移矩阵，其中位移矩阵的作用是沿着第一个轴向位移一个单位，而旋转矩阵的作用是沿着坐标系的原点（图4.3）旋转$\theta$角度。

图 4.3： 两种解释表达式$\vec{\mathbf{f}}^tTR$的方法

我们现在可以解释以下变换：

$\vec{\mathbf{f}}^t \Rightarrow \vec{\mathbf{f}}^tTR$

我们将变换分解为两步来看，在第一步中，

$\vec{\mathbf{f}}^t \Rightarrow \vec{\mathbf{f}}^tT = \vec{\mathbf{f}^\prime}^t$

它可以被解释为：$\vec{\mathbf{f}}^t$被相关于$\vec{\mathbf{f}}^t$的$T$变换，我们将结果称为坐标系$\vec{\mathbf{f}^\prime}^t$。

在第二步中，

$\vec{\mathbf{f}}^tT \Rightarrow \vec{\mathbf{f}}^tTR$，

或者相等的

$\vec{\mathbf{f}^\prime}^t \Rightarrow \vec{\mathbf{f}^\prime}^tR$

它可以被解释为：$\vec{\mathbf{f}^\prime}^t$被相关于$\vec{\mathbf{f}^\prime}^t$的$R$变换。

我们也可以将整体变换解释为另一种有效的方式。将旋转和位移以另一种顺序来应用。在第一步中，

$\vec{\mathbf{f}}^t \Rightarrow \vec{\mathbf{f}}^tR = \vec{\mathbf{f}^\circ}^t$，

$\vec{\mathbf{f}}^t$被相关于$\vec{\mathbf{f}}^t$的$R$变换，我们将结果称为坐标系$\vec{\mathbf{f}^\circ}^t$。在第二步中，

$\vec{\mathbf{f}}^tR \Rightarrow \vec{\mathbf{f}}^tTR$，

$\vec{\mathbf{f}^\circ}^t$被相关于$\vec{\mathbf{f}}^t$的$T$变换。

这些是对最终整体变换的两种不同的解释。（1）相关于$\vec{\mathbf{f}}^t$位移，之后再相关于一个中介坐标系旋转。（2）相关于$\vec{\mathbf{f}}^t$旋转，再沿着原始的$\vec{\mathbf{f}}^t$位移。有时，使用第一种解释更方便，而有时更适合使用第二种。

这些类型的解释常常总结如下：如果我们从左到右解读变换，那么每个变化都相关于一个新产生的"局部"坐标系。如果我们从右向左解读，那么每个变化都相关于原始的"全局"坐标系。

练习

4.1 使用4.2节中的定义，画出两种不同的草图来表达变换：$\vec{\mathbf{f}}^t \Rightarrow \vec{\mathbf{f}}^tRT$（与图 4.3 比较）。

4.2 假设$\vec{\mathbf{f}}^t$是一个正交坐标系，并且我们进行变换$\vec{\mathbf{f}}^t\Rightarrow\vec{\mathbf{f}}^tST$，其中$S$是一个以系数 2 进行均匀缩放的矩阵，而$T$沿着$x$轴位移 1。以$\vec{\mathbf{f}}^t$的原始单位来衡量，则坐标系的远点移动了多远？

4.3 给定两个正交坐标系$\vec{\mathbf{a}}^t$和$\vec{\mathbf{b}}^t$

距离由正数$d_i$表示。怎样的矩阵$R$和$T$可以得到$\vec{\mathbf{b}}^t=\vec{\mathbf{a}}^tTR$？怎样的矩阵$R$和$T$可以得到$\vec{\mathbf{b}}^t=\vec{\mathbf{a}}^tRT$？（注意：不要使用矩阵$T$的三角变换。）

4.4 给定以下 3 个坐标系

假设$\vec{\mathbf{b}}^t=\vec{\mathbf{a}}^tN$且$\vec{\mathbf{c}}^t=\vec{\mathbf{a}}^tM$。只用$N$和$\theta$来表示矩阵$M$。