第四章坐标系相关性（Respect）

4.1 坐标系的重要性

在计算机图形学中，我们同时记录许多不同的坐标系。例如，我们也许对场景中的每一个物体都有一个不同的坐标系与之相关联。我们如何使用和组织这些坐标系的细节在第 5 章中描述。因为有如此多的坐标系，当使用矩阵来定义变换时，我们需要非常小心。

假设我们指定一个点和一个变换矩阵；这并不能完全表示实际的映射。我们必须也指定我们所使用的坐标系。这里有一个简单的例子。假设我们开始于某一点 $\tilde{p}$ 以及矩阵

$\mathbf{S} = \left[ \begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$

现在我们来确定一个坐标系 $\vec{\mathbf{f}}^t$ 。有了这个向量基，我们想要表示的点可以由对应合适的坐标系向量表示为 $\tilde{p}=\vec{\mathbf{f}}^t\mathbf{c}$ 。如果我们现在使用上面的矩阵来变换该点，如同第 3 章中描述的，我们得到 $\vec{\mathbf{f}}^t\mathbf{c}\Rightarrow\vec{\mathbf{f}}^tS\mathbf{c}$ 。在这个情况下，该矩阵的作用是从坐标系 $\vec{\mathbf{f}}^t$ 的原点开始，用缩放系数 2 来变换该点，缩放方向为 $\vec{\mathbf{f}}^t$ 的第一个轴向（ $x$ ）。

假设我们重新选择另一个坐标系 $\vec{\mathbf{a}}^t$ ，并且假设这个坐标系与原先的坐标系通过矩阵可以建立相关关系 $\vec{\mathbf{a}}^t=\vec{\mathbf{f}}^tA$ 。我们可以用一个新的坐标系向量在新的坐标系内表示原点 $\tilde{p}=\vec{\mathbf{f}}^t\mathbf{c}=\vec{\mathbf{a}}^t\mathbf{d}$ ，其中 $\mathbf{d}=A^{-1}\mathbf{c}$ 。

现在如果我们使用 $S$ 来对相关于 $\vec{\mathbf{a}}^t$ 的点进行变换，我们得到 $\vec{\mathbf{a}}^t\mathbf{d}\Rightarrow\vec{\mathbf{a}}^tS\mathbf{d}$ 。此时，我们对同一个点 $\tilde{p}$ 进行了缩放，但这一次，它是从 $\vec{\mathbf{a}}^t$ 的原点，沿着 $\vec{\mathbf{a}}^t$ 的第一个轴向（ $x$ ）进行缩放。它是一个与之前不同的变换（图4.1）。图 4.2 展示了当使用一个固定的矩阵 $R$ 旋转一个点时遇到同样对坐标系的依赖性。

在这里需要关注的重点是，对点的变换（在本例中是非均匀缩放）在表达式中与变换矩阵左侧的首先出现的坐标系相关。因此我们称之为左侧原则（left-of-rule）。我们将

我们可以对坐标系本身的变换也应用同样的逻辑。我们将

4.1.1 使用辅助坐标系进行变换

变换后的矩阵可以被表示为

\begin{eqnarray} &&\vec{\mathbf{f}}^t \\ &=& \vec{\mathbf{a}}^tA^{-1} \\ &\Rightarrow& \vec{\mathbf{a}}^tMA^{-1} \notag\\ &=& \vec{\mathbf{f}}^tAMA^{-1} \end{eqnarray} \tag{4.1}