第十章投影

目前，我们已经在三维空间中描述了物体（objects）和视点（eye）。我们下一步的目标，是要理解如何将这些描述信息，转换为一张从视点处观察看到的二维图像。为此，我们需要建立一个简单的摄影机模型。通篇我们假设摄影机位于视点坐标系（ $\vec{\mathbf{e}}^t$ ）的原点，并且看向视点的负 $z$ 轴方向。我们使用 $[x_e, y_e, z_e, 1]^t$ 记号来表示视点坐标系下的一点。

10.1 针孔相机

最简单的摄影机形式是针孔相机（图10.1）。光线朝着摄影机的成像面运动，大部分会被一个位于 $z_e = 0$ 的不透光平面所阻挡。但是，我们在该平面的中心设置一个非常小的孔洞，它位于视点坐标系的 $[0, 0, 0, 1]^t$ 处。

在真实的物理世界中，任何真实的相机都需要具有一个有限大小的光圈，从而定量的可被测量的光能够从光圈中通过，并抵达摄影机成像面。并且，一旦光圈是有限大小的量，就需要一个镜头来辅助更好的将入射光“组织”并聚焦。不过，这些问题现在并不对我们造成困扰，因为我们不是要依据物理法则制造真实的相机。第 21 章有关于此话题更详细的内容。

在针孔相机中，摄影机成像面上的数据需要进行翻转，才能得到我们想要的照片。从数学角度看，通过将针孔相机与摄影机成像面置于针孔的前方，例如 $z_e = -1$ 平面（图10.2），我们可以省略掉翻转图像这个步骤。在真实世界中，这是不现实的，但对于针孔相机的数学模型来说，这样做完全可行。

当创建好图像之后，如果我们将它固定在 $z_e = -1$ 平面，并且在原点处观察（图10.3），对我们来说观察到的结果会与直接观察原始场景相同。我们精确再现了从原点处观察场景时，抵达我们眼部的数据。如果在空间中移动这幅图像，例如离眼睛近一点或远一点，我们就不再精确再现原始场景的视觉刺激信息了，但是它仍旧会看起来是一个视觉上可信的原始场景。

10.2 基础数学模型

针孔相机在数学上非常容易建模。我们使用坐标系 $[x_n, y_n]^t$ 来表示摄影机成像面上的点。目前，我们在摄影机成像面上选定了一个二维坐标系统，它恰好与视点坐标系相匹配（也就是， $x_n = x_e$ 且 $y_n=y_e$ ），但是我们很快会放宽这一设定。

给定空间中一点 $p$ 在视点坐标系下的坐标 $[x_e, y_e, z_e, 1]^t$ ，可以轻易看出（根据相似三角形定理）从点 $p$ 射向原点的射线，与成像面相交的位置为：

x_n = - \frac{x_e}{z_e} \tag{10.1}

y_n = - \frac{y_e}{z_e} \tag{10.2}

我们可以将其用矩阵运算表达为：

\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 &1 & 0 & 0 \\ - & - & - & - \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_e \\ y_e \\ z_e \\ 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} x_c \\ y_c \\ - \\ w_c \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} x_nw_n \\ y_nw_n \\ - \\ w_n \end{matrix} \right] ， \tag{10.3}

其中横线（—）意味着“我们不关心此处的值”。这个矩阵称作投影矩阵（projection matrix）。矩阵相乘的原始输出， $[x_c, y_c, -, w_c]^t$ ，称作点 $\tilde{p}$ 的裁切坐标系向量（clip coordinates）。（如此命名，是因为这个原始数据随后会在裁切阶段使用，是第12.1节的内容）。 $w_n = w_c$ 是一个新的变量，称作 $w$ 分量（ $w$ -coordinate）。在这样的裁切坐标空间里，第四个分量不一定必须为 0 或 1。

我们说 $x_nw_n = x_c$ ，并且 $y_nw_n = y_c$ 。如果想要单独提取 $x_n$ ，必须进行除法 $x_n = \frac{x_nw_n}{w_n}$ ，（对 $y_n$ 也是这样）。当这么做的时候，我们恢复了等式 10.1 中的计算，即简单摄影机模型使用的计算。（译者注：因为此时 $-z_e = w_c = w_n$ ）

我们得到的附有脚标 $n$ 的输出坐标系向量，称作归一化设备坐标系（normalized device coordinates），因为它用与具体像素数无关的抽象单位，表达了图像上的点。在计算机图形学中，我们将所有的图像数据都维持在正则正方形内（canonical square） $-1 \leq x_n \leq +1，-1 \leq y_n \leq +1$ ，并最终将其映射到屏幕上的一个窗口中。这个正方形之外的数据，不会被记录或显示。这正是我们在附录 A 中用来描述 2D OpenGL 绘制的模型。

10.3 变体

通过改变投影矩阵中的项，我们可以对摄影机的几何变换进行微调。

10.3.1 缩放

如果我们将摄影机成像面移动到 $z_e= n$ 处，其中 $n$ 是一个负数（图10.4），我们可以将该摄影机建模为

x_n = \frac{x_en}{z_e}

y_n = \frac{y_en}{z_e}

这样做类似于镜头上的变焦。用矩阵来表达则是

\left[ \begin{matrix} x_nw_n \\ y_nw_n \\ - \\ w_n \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} -n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -n & 0 & 0 \\ - & - & - & - \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_e \\ y_e \\ z_e \\ 1 \end{matrix} \right] \tag{10.3}

这样实际上相当于，在原先成像面位于 $z_e = -1$ 的相机的基础上，将记录到的图像以 $-n$ 为系数进行缩放，并最终只保留图像位于正则正方形内的部分（如图10.5）。因此，后面我们最好不再将归一化设备坐标系向量（normalized device coordinates），看作位于成像面上、与某一视点坐标系相吻合的坐标系，而是简单的认为它是图像平面上固有的一个坐标系。

控制缩放系数的一个好方法是，通过给定目标摄影机的垂直视场角度（field of view）来决定 $-n$ 。尤其是当我们想要让摄影机的视场角为 $\theta$ 度的时候。这时我们就可以设定 $-n = \frac{1}{\tan(\frac{\theta}{2})}$ （如图10.6），由此我们得到投影矩阵为

\left[ \begin{matrix} \frac{1}{\tan(\frac{\theta}{2})} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\tan(\frac{\theta}{2})} & 0 & 0 \\ - & - & - & - \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{matrix} \right] \tag{10.4}

我们可以直接验证，任意以原点为起点，并与负 $z$ 轴在垂直方向形成的夹角为 $\frac{\theta}{2}$ 度的射线，都会被映射到成像面上正则正方形的边界上，因此，该相机的视场角是 $\theta$ 度。例如，视点坐标系向量 $[0, \tan(\frac{\theta}{2}), -1, 1]^t$ 映射到归一化设备坐标系为 $[0, 1]^t$ 。

更通用的处理问题，我们可以用不同的水平和垂直缩放系数 $s_x$ 和 $s_y$ 来分别缩放原始图像，从而得到如下的摄影机模型：

在计算机图形学中，这种不等比的缩放在处理不为正方形的屏幕窗口时会用到。假设窗口的宽大于高。在摄影机变换中，我们需要在水平方向上挤压物体，以便更宽的水平视场角可以被容纳进我们留存的正则正方形内。当数据随后映射到窗口中时，它会被相应的拉伸从而看起来没有变形。

定义 $a$ ，即屏幕的宽高比（aspect ratio）为它的宽度除以高度（例如以像素为单位）。我们可以将投影矩阵设置为

\left[ \begin{matrix} \frac{1}{a\tan(\frac{\theta}{2})} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\tan(\frac{\theta}{2})} & 0 & 0 \\ - & - & - & - \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{matrix} \right] \tag{10.5}

这个相机的垂直方向与等式（10.4）中保持不变，但是在生成图像时，采用了相应更宽的水平视场角。

当窗口的高大于宽，也就是 $a < 1$ 时，我们依然可以使用等式 10.5 中的矩阵，但我们也许并不满意这样做得到的水平视场角，因为它很狭窄。如果我们希望 $\theta$ 为垂直或是水平视场角中最小的那个，那么，当 $a < 1$ 时，我们需要使用如下的投影矩阵：

\left[ \begin{matrix} \frac{1}{\tan(\frac{\theta}{2})} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{a}{\tan(\frac{\theta}{2})} & 0 & 0 \\ - & - & - & - \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{matrix} \right] \tag{10.5}

这正是在 6.2 小节中我们调用 makeProjection 所产生的矩阵。

在计算机图形学中，选用视场角时常常需要去平衡不同的因素。一方面，更广的视场角，例如在一个游戏环境中，可以让观察者看到四周更多的东西。另一方面，在一个典型的观察环境下（除非有人把脸直接贴在屏幕前面），屏幕只占据了观察者四周环境的很小一部分角度。在这种情况下，观察者看到的几何关系会与图像环境中的不一致（就像图 10.3 中那样），并且图像看起来会有点变形（例如球体可能显示时不是圆形）。

10.3.2 移轴

不太常见的是，也许我们会希望用 $[c_x, c_y]^t$ 来移动 2D 归一化设备坐标系。这可以用投影矩阵建模为

对应到摄影机上，这个矩阵就描述了一个移轴的成像面（shifted film plane）（如图10.7）。它也许看起来很罕见，但实际上，因为制造工艺以及光学的问题，大部分真实的相机内部都确实有一些微量的偏移。

在计算机图形学中，移轴相机的主要用途是平铺显示（如图10.8），我们将多个显示屏并列放置来组成一个更大的屏幕。在这种情况下，这些每一个子图像都以一个适当的移轴相机来建立数学模型。移轴的另一个应用是创建一对图像，用于单屏幕上的立体显示。

通常在计算机图形学中，表示移轴（以及缩放）的相机时，会首先给定一个近切平面 $z_e = n$ 。通过指定一个视点坐标系下，与坐标轴平行的长方形，可以在这个平面上确定一个长方形。（为了得到没有变形的输出结果，这个长方形的宽高比应该与最终的窗口相吻合。）用 $l, r$ 的值来表示这个长方形在 $x_e$ 坐标轴上的左右边界，并且用 $t, b$ 来表示它在 $y_e$ 坐标轴上顶和底部的边界。总的来说，这些参数描述了空间中一个 3D 视锥（frustum）的形状。穿过这个长方形并射入原点的射线，会被映射到正则正方形图像内，使用如下投影矩阵描述

\left[ \begin{matrix} -\frac{2n}{r-l} & 0 & \frac{r+l}{r-l} & 0 \\ 0 & -\frac{2n}{t-b} & \frac{t+b}{t-b} & 0 \\ - & - & - & - \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{matrix} \right] \tag{10.6}

（如图 10.9）。

10.3.3 其他

在矩阵式（10.6）左上角 2 乘 2 的区域中，留有两个零在我们的摄影机模型中没有涉及到，这是一个典型的情况。这块 2 乘 2 的区域作为一个整体，可以表示像素网格的旋转与切变。切变在真实摄影机中并不常见，在计算机图形学中也不常用。当然，我们可以围绕着摄影机的光轴来旋转整个摄影机，但是这种旋转，在最初定义视点坐标系 $\vec{\mathbf{e}}^t$ 时，就可以用适当的摄影机旋转来表示！

10.4 应用情境（Context）

我们所描述的投影操作是一种映射，它可以在视点坐标系下应用在任何给定的点上，从而得到该点的归一化设备坐标系。尽管在 OpenGL 中，这一映射只被应用于三角形的顶点上。一旦得到了三角形上三个顶点的归一化设备坐标系向量，通过计算图像平面上位于三角形内部的所有像素，就可以简单的得到三角形内部的点。

练习

10.1 假设我们给一个冰做的立方体拍照。将它正面的投影绘制出来，用实线表示靠前的面，用虚线表示背部的面。假设用 40，30 和 20 度的视场角来分别拍摄三张图像。摄影机的其他参数保持不变。那么以下的图像序列哪一个比较可信：

10.2 （发散思考）看以下两张照片：你能否看出这些照片是如何拍摄的？两张照片使用的视点坐标系和投影矩阵有何不同？（提示：记住我们可以制造出移轴相机。）

（版权信息：图片来自[26]，版权属于 Phillip Greenspun）

10.3 （发散思考）设 $\vec{\mathbf{e}}^t = \vec{\mathbf{w}}^tE$ ，且 $P$ 是一个摄影机矩阵，是一个任意的 4 乘 4 矩阵，且第三行以"—"填充。给定 6 个点的世界坐标以及它们的归一化设备坐标，如何计算矩阵 $PE^{-1}$ 中的 12 个未知项？（注意：必须包含未知的缩放系数才能解出这个问题）（提示：用 0 建立一个适当的右手性齐次线性系统）

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